数字信号处理与DSP技术第3章 序列的傅里叶变换与Z变换.ppt

1,第3章 序列的傅里叶变换与Z变换,3.1 序列傅立叶变换 3.2 周期序列的离散傅里叶级数与傅里叶变换 3.3 Z变换 3.4 离散系统变换域分析 3.5 Z变换的MATLAB实现,2,3.1.1 序列的傅里叶变换定义,$3.1 序列的傅立叶变换,是数字频率ω的复函数，可以表示为幅度谱和相位谱形式：,因而序列的FT为周期函数，周期为2π。,由于,3,FT收敛条件,FT收敛的充分条件是序列绝对可和有界，即：,,若不满足，则傅里叶变换不收敛。,4,例3-1: 设x(n)=RN(n)为有限长序列，求x(n)的傅里叶变换, 当N=4时求其幅频和相频特性。,解,其幅度谱和相位谱分别为：,,,5,matlab程序：,clf % 清除所有的图形窗口 N1=4; % 设置DFT的长度 n=0:N1-1; k1=n; w=(0:2047)*2*pi/2048; %将w在0~2*pi区间分成2048点 Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w)); % 对x(n)的频谱采样2048点 xn=[n=0 ,6,,,7,例：求因果指数序列 的傅立叶变换，讨论其收敛条件,解：,,,收敛条件：,,8,3.1.2 序列的傅里叶反变换,9,,有些序列不满足绝对和有界收敛条件,但是可以引入冲激函数，也可以求出它们的傅立叶变换,10,【例3-2】已知,求傅里叶反变换x(n),11,,解：,12,$3.1.3 序列傅立叶变换的基本性质,1．FT的周期性,,,13,,（1）序列傅里叶变换为数字频率的周期函数 （2） 表示了信号在频域的分布规律 (3)在ω＝0,±2π,±4π…表示信号的直流分量，在ω＝±(2M＋1)π时是最高的频率分量。所以分析信号频谱时一般只需分析在一个周期（-π，π）的FT即可。,14,,2．线性,,,,15,,3．序列的时移和频移性,,设,， 则：,,,16,,4、FT的对称性 （1）共轭对称性,设序列 满足,则称序列为共轭对称序列。,17,共轭对称序列的性质：,共轭对称序列的实部是偶序列，而虚部是奇序列,18,,（2）共轭反对称性 满足下式的序列称共轭反对称序列： 共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。,,19,,（3）任何序列都可以表示为共轭对称序列和共轭反对称序列之和,,20,（4）FT的对称性 将序列x(n)分成实部和虚部，即 可以证明：序列实部的FT为序列频谱的共轭对称部分；序列虚部（包含j）的FT为序列频谱的共轭反对称部分 将序列x(n)分成共轭对称和共轭反对称部分，即 可以证明：序列的共轭对称部分的FT为序列频谱的实部；共轭的反对称部分的FT为序列频谱的虚部（包含j）部分,,,21,,5．时域卷积定理,若：,则：,22,,6．频域卷积定理,若：,则：,,,,,,,,23,,7．帕斯维尔（Pars）定理,若,,,返回,8.尺度变换：,设 ，a为常数， 则,24,,,25,$3.2 周期序列的傅立叶级数与傅里叶变换,3.2.1 周期序列的离散傅里叶级数DFS,,,,周期为N的周期序列 满足,其中k为任意整数。周期序列在n取0~N-1的区间称 为主值区间，周期序列在主值区间的取值称为主值 序列。,26,周期序列可以展开成傅里叶级数：,,ak为傅里叶级数的系数,基频序列：,K次谐波序列：,又因为：,所以周期序列的离散傅里叶级数中只有N个独立的谐波成分，取k=0~N-1的N个独立谐波，其中k=0表示周期序列的直流分量。,27,,因此周期序列的傅里叶级数可以写成：,,,求得系数：,28,令,,得到：,,周期序列傅里叶级数的反变换（IDFS）：,,,也为周期序列，k=0~N-1为主值区间，,在主值区间的值称为主值序列。,称为周期序列的傅里叶级数，用DFS表示。,29,【例3-4】设周期序列的主值序列为 ，求周期序列的傅里叶级数DFS,,解,,,30,3.2.2 周期序列的傅里叶变换表达式,可以证明：对于时域周期序列： 其傅里叶变换对为：,,,其中 表示单位冲击函数,31,对于一般的周期序列,的傅里叶变换（FT）为,,,式中周期序列的离散傅里叶级数（DFS）,32,基本序列的傅里叶变换,返回,33,§3.3 Z变换,3.3.1 Z变及其换收敛域,1、Z变换的定义,其中z为复数平面的变量。 该变换称为双边Z变换,34,,单边Z变换定义为： 即只对单边序列（n=0部分）进行z变换。单边z变换可以看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。,,35,2、Z变换的收敛域 1）定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.,2）收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,对于实数序列应满足,36,,因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为 这就是收敛域，一个以Rx+和Rx-为半径的两个圆所围成的环形区域， Rx+和Rx-称为收敛半径， Rx+和Rx-的大小即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况Rx+和Rx-等于0，这时圆环变成圆或空心圆如图3-2所示,,37,,,,38,,3、四种序列的Z变换收敛域 (1).有限长序列,39,,,,,,,40,【例3-5】求序列x(n)=δ(n) 的Z变换的收敛域。,解: 由于n1=n2-0，其收敛域为整个闭域子平面， 。,,,41,【例3-6】 求矩形序列x（n）=RN（n）的Z变换的收敛域。 解: 利用等比级数求和公式得到：,,,42,(2). 右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,,43,,,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|∞; 第二项为z的负幂次级数，其收敛域为 Rx-|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-|z|∞; Rx-为最小收敛半径。,44,因果序列 它是一种最重要的右边序列, 收敛域为：,45,(3)左边序列,46,,第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .,47,双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。,(4)双边序列,48,,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列(因果)其收敛域为：,,,,,,,当Rx-Rx+时，其收敛域为,49,【例3-7】 x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。 解:  第一部分收敛域为|az||a|。 如果|a|1, 两部分的公共收敛域为|a||z||a|－1, 其Z变换如下式:  如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时， X(z)的收敛域如图3-3所示。,,,50,,,,51,其收敛域应包括 即 充满整个Z平面。,[例] 求序列 的Z变换及收敛域。 解：这相当 时的有限长序列，,52,,当 时，这是无穷递缩等比级数。,[例] 求序列 的Z变换及收敛域。 解：,53,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,收敛域：,54,[例]求序列 变换及收敛域。,同样的，当|b||z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,55,§3.3.2 逆Z变换 定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作逆Z变换。,56,,,,,,逆z变换公式：,C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,,,,c,57,1.留数法 由留数定理可知：,为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res[ ]表示极点处的留数。,求Z反变换的方法,58,2）当Zr为l阶(多重)极点时的留数：,留数的求法： 1）当Zr为一阶极点时的留数：,59,例3-8: 已知 ，|z|a，求其逆Z变换x(n)。 解:由于收敛域是|z|a，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果的右序列，这样n=0部分。 当n=0 时，F（z）只有一个极点a,所以 ∴,,,,所以：,60,[例] 已知,解: 1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此,，求z反变换。,61,2）当n≤-2时，X(z)zn+1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:,62,2.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。,,,63,[例] 试用长除法求 的z反变换。,解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。,64,65,66,67,68,69,3.部分分式法,70,通常，X(z)可 表成有理分式形式：,因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：,71,Z变换的基本形式 ：,分别求出各部分分式的Z反变换（可记得常用序列 的Z变换或查表），然后相加即得X(z)的z反变换。,72,【例3-9】,已知收敛域为 ，试求|z|1的反变换。 解： 所以其反变换为：,,,,,73,的z反变换。,[例]利用部分分式法，求,解：,,74,75,§3.3.3 Z变换的基本性质和定理 如果 则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。,1.线性,76,[例]已知 ,求其z变换。,解：,77,2. 序列的移位,如果 则有：,[例] 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,78,3. Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,79,4. 序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,80,5. 共轭序列,如果,，则,证明：,81,6. 翻褶序列,如果,，则,证明：,82,7. 初值定理,证明：,83,8. 终值定理,证明：,84,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。,,85,9. 有限项累加特性,证明：,86,87,10.序列的卷积和(时域卷积定理),88,证明：,89,[例],解：,90,11.序列相乘(Z域卷积定理),其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。,91,[例],解：,92,93,12.帕塞瓦定理(pars),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）,如果,则有:,94,*几点说明：,95,§3.4 离散系统的变换域分析,3.4.1 传输函数与系统函数 离散系统的单位脉冲响应h(n)，进行傅里叶变换： 称为系统的传输函数，它表征系统的频率特性,96,线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应,H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且 在单位圆 上的系统函数就是系统的频率 响应（传输函数）。,,系统函数:,97,系统函数的极点分布影响系统的因果性和稳定性。 由于在时域：一线性时不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|∞。 Z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|∞的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有∑|h(n)|∞ ，即系统稳定；也就是说，系统函数H(z)收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|≤∞。 因而因果、稳定系统的系统函数收敛域为 1≤|z|≤∞， 也就是说,因果稳定系统的全部极点必须在单位圆内。,3.4.2 系统的因果性和稳定性变换域分析,98,【例3-10】系统函数用下式表示：,试分析该系统的因果性和稳定性。 解： 该系统有两个极点，即z=a和z=a-1。 根据系统极点分布情况，系统的因果性和稳定性有三种情况，分别分析如下：  (1) 收敛域取a-11，收敛域不包含单位圆，因此系统不稳定。 (2) 收敛域取a|z|a-1。由于收敛域包含单位圆，系统稳定；但收敛域不包含∞点，系统不是因果系统。 (3) 收敛域取|z|a。因为收敛域既不包含∞点，也不包含单位圆，因此系统既不稳定也不是因果系统。,,99,3.4.3 系统的零极点分布于系统函数特性,线性移不变系统常用差分方程表示：,取z变换得：,对上式因式分解，令,得：,100,频率响应的几何确定,1.频响的零极点表达式,101,,模：,相角：,102,几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量ω(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。,103,零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。,ω,。,。,104,[例3-12] 设一阶系统的差分方程为:,[解]: 对差分方程两边取Z变换:,，a为实数,求系统的频率响应。,105,这是一因果系统，其单位抽样响应为 而频率响应为: 幅度响应为: 相位响应为:,106,3.5 Z变换的MATLAB实现,3.5.1 MATLAB的Z变换函数 ztrans用法 ztrans(F); ztrans(F,z); ztrans(F,n,z);,107,【例3-13】,求 的z变换。,,程序: clear all; close all; clc; syms n; %定义n为符号变量 f=0.5^n+(1/3)^n; %定义离散信号的表达式 F=ztrans(f) ;%z变换 pretty(F);,运行结果：,108,3.5.2 MATLAB的Z反变换函数,逆Z变换：iztrans 绘制零极点图：zplane 求留数：residuez,109,[例3-14]求 反z变换。,,程序： clear all; close all; clc; syms k z; %定义k、z为符号变量 F=z*(z-1)/(z^2+2*z+1); %定义z反变换的表达式 f=iztrans(F); %z反变换 pretty(f); 运行结果：,,110,例3-16: 求系统响应 的零极点分布。 程序： clear all; close all; clc; b=[0 0 10 0];%分子的系数向量 a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数向量 zplane(b,a);% 使用zplane函数绘制如下系统的零极点分布 运行结果：,,111,例3-17： 求 的反变换。,,程序： clear all; close all; clc; b=[0 0 10 0]; %分子的系数向量 a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数向量 [r,p,C]=residuez(b,a);%将H(z)分解成为多个简单有理分式之和 运行结果： r = -15.0000 5.0000 10.0000 p = 2.0000 2.0000 1.0000 C = 0 分解如下：,,112,,所以：,,