北京专版2019年中考数学一轮复习5.3解直角三角形试卷部分课件.ppt

§5.3 解直角三角形,中考数学 (北京专用),2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2012北京,19,5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°, ∠DCE=30°,DE= ,BE=2 .求CD的长和四边形ABCD的面积.,解析 过点D作DF⊥AC于点F. 在Rt△DEF中,∠DFE=90°,∠DEF=45°,DE= , ∴DF=EF=1. 在Rt△CFD中,∠CFD=90°,∠DCF=30°, ∴CD=2DF=2. ∴FC= . 在Rt△ABE中,∠BAE=90°,∠AEB=∠CED=45°,BE=2 , ∴AB=AE=2. ∴AC=AE+EF+FC=3+ .,∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC = AC·DF+ AC·AB = ×(3+ )×1+ ×(3+ )×2 = + . ∴四边形ABCD的面积是 + .,2.(2011北京,20,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC、BC于点D、E,点 F在AC的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (1)求证:直线BF是☉O的切线; (2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的长.,解析 (1)证明:连接AE. ∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°. ∴∠1+∠2=90°. ∵AB=AC,∴∠1= ∠CAB. ∵∠CBF= ∠CAB, ∴∠1=∠CBF,∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°. ∵AB是☉O的直径,∴直线BF是☉O的切线. (2)过点C作CG⊥AB于点G.,∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,∴sin∠1= . ∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB·sin∠1= . ∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2 . 在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= =2 , ∴sin∠2= ,cos∠2= . 在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3. ∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF, ∴ = ,∴BF= = .,评析 将解直角三角形与圆、相似等知识结合在一起考查是北京市中考命题常采用的形式.,教师专用题组,考点一 锐角三角函数,1.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A ∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tan A= =3.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则 tan∠BAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC. 在△ABD和△BCE中, ∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴AB=BC,∠ABD=∠BCE. ∵∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ABD+∠CBE=90°,即∠ABC=90°, ∴tan∠BAC= =1,故选B.,3.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理可得BC= ,所以cos B= = .故选A.,4.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡 与水平地面夹角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地 面夹角的正切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,5.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与 A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是 ( ) A.(sin α,sin α) B.(cos α,cos α) C.(cos α,sin α) D.(sin α,cos α),答案 C 过P作PQ⊥OB,交OB于点Q, 在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α, ∴sin α= ,cos α= ,即PQ=sin α,OQ=cos α, ∴点P的坐标为(cos α,sin α).故选C.,6.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B, 则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5. ∴cos α= = .故选D.,7.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A= ( ) A. B. C. D.,答案 D 设AB=k(k0),则BC=2k, ∵∠B=90°, ∴AC= = k,∴cos A= = = , 故选D.,8.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西 45°方向上.符合条件的示意图是 ( ),答案 D 本题考查方向角的简单识别,选D.,9.(2014浙江杭州,3,3分)在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC= ( ) A.3sin 40° B.3sin 50° C.3tan 40° D.3tan 50°,答案 D ∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠B=50°,又tan B= ,∴AC=BCtan B=3tan 50°,故选D.,10.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD= 90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm.,答案 ( + ),解析 如图,连接DE,过点E作EM⊥BD于点M,设EF交BD于点N,∵AD=4 cm,∠A=60°,∴AB=8 cm,DB=4 cm,∵点E为AB的中点,EM⊥BD,∴DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性质可知∠ENM=∠FND=45°,∴在Rt△ENM中,EN= EM=2 cm,MN=EM=2 cm, ∴DN=DM-MN= DB-MN=(2 -2)cm,在Rt△DFN中,FN= DN=( - )cm,∴EF=EN+FN= 2 + - =( + )cm.,一题多解 过点A作AG⊥CD的延长线于点G,∵∠CDB=∠CBD=45°,∠ADB=90°,∴∠ADG= 45°,∴AG= =2 cm,∵∠ABD=30°,∴BD= AD=4 cm,∵∠CBD=45°,∴BC= =2 cm,∵AG⊥CG,EF⊥CG,CB⊥CG,∴AG∥EF∥BC,∵E是AB的中点,∴点F为CG的中点,∴EF= (AG+BC)= (2 +2 )=( + )cm.,11.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分 ∠EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若 AC=2,△AMH的面积是 ,则 的值是 .,答案 8-,解析 过H作HG⊥AC于点G,如图. ∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠CAF. ∵DE∥BF,∴∠EAF=∠AFC, ∴∠CAF=∠AFC,∴CF=CA=2. ∵AM= AF,∴AM∶MF=1∶2. ∵DE∥BF,∴ = = = , ∴AH=1,S△AHC=3S△AHM= , ∴ ×2GH= ,∴GH= ,,∴在Rt△AHG中,AG= = , ∴GC=AC-AG=2- = , ∴ = =8- .,解题思路 过H作HG⊥AC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可.,12.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功 完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70° 方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如 果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75),解析 由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80. 在Rt△ACD中,cos∠ACD= ,∴0.34≈ ,∴CD≈27.2, 在Rt△BCD中,tan∠BCD= ,∴0.75≈ ,∴BD≈20.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,13.(2018吉林,21,7分)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,制定了如下测量方案,使用的工具 是测角仪和皮尺,请帮助组长林平完成方案内容,用含a,b,α的代数式表示旗杆AB的高度. 数学活动方案 活动时间:2018年4月2日 活动地点:学校操场 填表人:林平,解析 测量步骤:(1)测角仪. (1分) (2)皮尺. (2分) 计算过程:由题意可知∠ADE=α,DE=BC=a,BE=CD=b. 在Rt△ADE中,∠AED=90°. ∵tan∠ADE= , ∴AE=DE·tan∠ADE. (4分) ∴AE=atan α. ∴AB=AE+BE=(b+atan α)米. (7分) 评分说明:计算结果没写单位或不加括号不扣分.,14.(2017黑龙江哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点 均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上; (2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB= .连接CD, 请直接写出线段CD的长.,解析 (1)正确画图. (2)正确画图. CD= .,15.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.994 5, sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.001 8, sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.987 3, sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.000 0, sin245°+sin245°= + =1. 据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1. (1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立; (2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析 (1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°= + = + =1. 所以,当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=1成立. (2)小明的猜想成立.证明如下: 如图,△ABC中,∠C=90°, 设∠A=α,则∠B=90°-α. sin2α+sin2(90°-α)= + = = =1.,16.(2014重庆,20,7分)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD= ,求sin C 的值.,解析 ∵AD⊥BC,∴tan∠BAD= , (1分) ∵tan∠BAD= ,AD=12, ∴ = , (2分) ∴BD=9. (3分) ∴CD=BC-BD=14-9=5, (4分) ∴在Rt△ADC中,AC= = =13, (6分) ∴sin C= = . (7分),考点二 解直角三角形,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A 处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处,然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD 的高度约为(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73) ( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,答案 A 作BF⊥AE于F,如图所示, 易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF, ∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5, ∴DE=BF=5米,AF=12米, ∴AE=AF+FE=18米, 在Rt△ACE中,CE=AE·tan 36°≈18×0.73=13.14米, ∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.,2.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C 在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 ( ) A.4 km B.(2+ )km C.2 km D.(4- )km,答案 B 如图,在Rt△ABE中,∠AEB=45°, ∴AB=EB=2 km,∴AE=2 km, ∵∠EBC=22.5°,∴∠ECB=∠AEB-∠EBC=22.5°, ∴∠EBC=∠ECB,∴EB=EC=2 km, ∴AC=AE+EC=(2 +2)km. 在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AD=DC=(2+ )km. 即点C到l的距离为(2+ )km,故选B.,3.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2 米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为 ( ) A.(11-2 )米 B.(11 -2 )米 C.(11-2 )米 D.(11 -4)米,答案 D 延长BC、OD交于点E, ∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°, ∵∠B=90°,OB=22× =11米, ∴EB=11 米, 在Rt△DCE中,CE=2DC=4米. ∴BC=EB-CE=(11 -4)米,故选D.,4.(2015江西南昌,12,3分)图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的 几何图形,已知AB=AC=15 cm,∠BAC=40°,则点A到BC的距离为 cm(参考数据:sin 20° ≈0.342,cos 20°≈0.940,sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器).,答案 14.1,解析 过点A作AD⊥BC于点D,因为AB=AC,∠BAC=40°,所以∠DAC= ∠BAC=20°. 在Rt△ADC中,AD=AC·cos 20°≈15×0.940=14.1 cm.,5.(2014浙江宁波,17,4分)为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车 位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.( ≈1.4),解析 如图,易知BC=2.2×cos 45°=2.2× ≈1.54米, CE=5sin 45°=5× ≈3.5米, 则BE=BC+CE=5.04米, EF=2.2÷sin 45°=2.2÷ ≈3.14米, (56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个). 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.,答案 17,6.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的 顶部D处的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整 数). 参考数据:tan 48°≈1.11,tan 58°≈1.60.,解析 如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E. 则∠AED=∠BED=90°. 由题意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°. 可得四边形BCDE为矩形. ∴ED=BC=78,DC=EB. 在Rt△ABC中,tan∠ACB= , ∴AB=BC·tan 58°≈78×1.60≈125. 在Rt△AED中,tan∠ADE= , ∴AE=ED·tan 48°. ∴DC=EB=AB-AE=BC·tan 58°-ED·tan 48°≈78×1.60-78×1.11≈38.,答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.,思路分析 过点D作DE⊥AB,构造直角△ADE和矩形BCDE,通过解直角△ABC和直角△ADE 可求出答案.,7.(2018贵州贵阳,20,10分)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB 与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称. (1)求证:△AEF是等边三角形; (2)若AB=2,求△AFD的面积.,解析 (1)证明:∵AE是BC边上的高, ∴∠AEB=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠EAD=∠AEB=90°, ∴△AED是直角三角形. ∵F是ED的中点, ∴AF=EF=FD. ∵AE与AF关于AG对称, ∴AE=AF, ∴AE=AF=EF, ∴△AEF是等边三角形. (2)由(1)知△AEF是等边三角形, ∴∠EFA=∠EAF=∠AEF=60°.,又∵AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称, ∴∠BAE=∠GAE=∠GAF=30°,AG⊥EF,设垂足为点N, ∴∠B=90°-∠BAE=60°. ∵在Rt△ABE中,AE=ABsin B= ,∴FD=AE= . ∵在Rt△AEN中,AN=AEsin∠AEN= , ∴S△AFD= FD·AN= × × = .,8.(2018贵州贵阳,18,8分)如图①,在Rt△ABC中,以下是小亮探索 与 之间关系的方法: ∵sin A= ,sin B= , ∴c= ,c= , ∴ = . 根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角△ABC中,探索 , , 之间的关系,并写出 探索过程.,解析 如图1,过点A作BC边上的高AD, 图1 ∵在Rt△ABD中,sin B= ,在Rt△ACD中,sin C= , ∴AD=csin B,AD=bsin C, ∴csin B=bsin C,∴ = . 同理,如图2,过点B作AC边上的高BE, 图2,∵在Rt△ABE中,sin A= ,在Rt△BCE中,sin C= , ∴BE=csin A,BE=asin C, ∴csin A=asin C, ∴ = . 综上, = = .,9.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆 CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的 F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°, 平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02),解析 解法一:由题意知,∠AEB=∠FED=45°, ∴∠AEF=90°. 在Rt△AEF中, =tan∠AFE=tan 84.3°, 在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED, ∴△ABE∽△FDE, ∴ = =tan 84.3°, ∴AB=FDtan 84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分) 解法二:作FG⊥AB于点G,,由题意知,△ABE和△FDE均为等腰直角三角形, ∴AB=BE,DE=FD=1.8, ∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在Rt△AFG中, =tan∠AFG=tan 39.3°, 即 =tan 39.3°, 解得AB=18.2≈18(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分),思路分析 思路一:由题意可确定∠AEF=90°,从而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形 中对应边的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于点G,由题意可推出△ABE和△FDE均为等腰直 角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.,10.(2018湖北武汉,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90°. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN; (2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC= , = ,直接写出tan∠CEB 的值.,解析 (1)证明:∵∠M=∠N=∠ABC=90°, ∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴△ABM∽△BCN. (2)过点P作PM⊥AP交AC于点M,过点M作MN⊥PC交BC于点N, 则△PMN∽△APB. ∴ = =tan∠PAC= ,设PN=2t,则AB= t. ∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90°,∠BAP=∠C, ∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t. 易得△ABP∽△CBA, ∴AB2=BP·BC,∴( t)2=BP·(BP+4t), ∴BP=t,∴BC=5t, ∴tan C= .,(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC= = ,∴tan∠BAC= = . 过点A作AG⊥BE于点G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H, ∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE, ∴ = = , 同(1)的方法得,△ABG∽△BCH, ∴ = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n, ∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m, ∴ = = ,∴n=2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在Rt△CEH中,tan∠CEB= = .,,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出∠MAB=∠NBC,即可得出结论; (2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判断出△PMN∽△APB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再 判断出△ABP∽△CBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以 = = = ,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻 找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方 法.,11.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂 直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE =7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米, 则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米,答案 B 如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形. 在Rt△CJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , ∴BM=CJ= ,DJ= ,又∵BC=MJ=1, ∴EM=MJ+DJ+DE= , 在Rt△AEM中,tan∠AEM= ,∴tan 58°= ≈1.6, 解得AB≈13.1(米),故选B.,思路分析 延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J,则四边形BMJC是矩形.在Rt△CJD中求 出CJ、DJ的长,再根据tan∠AEM= 即可解决问题.,方法总结 解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图 形,找到直角三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画 出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计 算即可;若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.,12.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根 平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的 距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高 杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°, 高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.500,sin 80.3°≈0.983, cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850),,解析 在Rt△CAE中,AE= = ≈ ≈20.7. (3分) 在Rt△DBF中,BF= = ≈ =40. (6分) ∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151. ∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分析 根据Rt△CAE和Rt△DBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度, 得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借 助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三 角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,13.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米, 在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C, E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°, ∴AC= =20 米. (2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,∴AF=DE,DF=AE. 设CD=x米,在Rt△CDE中,DE= x米,CE= x米, 在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF= 米, ∵DF=AE=AC+CE,∴20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD=(80 -120)米.,14.(2018山西,19,8分),祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索, 造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶 端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索 完成了实地测量.测量结果如下表:,(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin 38°≈0.6, cos 38°≈0.8,tan 38°≈0.8,sin 28°≈0.5,cos 28°≈0.9,tan 28°≈0.5); (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写 出一个即可).,解析 (1)如图,过点C作CD⊥AB于点D. (1分) 设CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°. ∵tan 38°= ,∴AD= ≈ = x. (2分) 在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°. ∵tan 28°= ,∴BD= ≈ =2x. (3分) ∵AD+BD=AB=234,∴ x+2x=234. (5分) 解得x=72. (6分) 答:斜拉索端点C到AB的距离为72米. (7分) (2)答案不唯一,还需要补充的项目可为测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等. (8分),15.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页 门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变 (所有结果保留小数点后一位). (1)若∠OBC=50°,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长. 参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14.,,解析 (1)如图,过点O作OD⊥AB于点D, 在Rt△OBD中, BD=OB·cos∠OBD=60×cos 50°≈60×0.64=38.4(cm). ∵OC=OB,∴BC=2BD. ∴AC=AB-BC=120-2×38.4=43.2(cm). (2)如图, ∵AB=120 cm,AC=60 cm, ∴BC=AB-AC=60 cm.,∵OC=OB=60 cm,∴BC=OC=OB, ∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°. ∵点O的运动路径为 , ∴点O运动的路径长为 =20π=62.8(cm).,思路分析 (1)过点O作OD⊥AB于点D,先根据∠OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的 性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当 点C从点A向右运动60 cm后∠OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确 理解点O的运动路径.,16.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览 会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为 30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小 数点后一位). (参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90, ≈1.73),解析 如图,过点A作AE⊥BD于点E, (1分) 由题意得∠DAE=42°,∠EAB=30°, 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°, ∴BE= AB= ×10=5. (2分) ∵cos∠EAB= , ∴AE=AB·cos 30°=10× =5 . (4分) 在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°, ∵tan∠DAE= , ∴DE=AE·tan 42°≈5 ×0.90= , (5分),∴CD=BE+ED-BC=5+ -6.5≈6.3(m). (6分) 答:标语牌CD的长约为6.3 m. (7分),思路分析 作AE⊥BD于点E,构造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得 BE,DE的长,进而可求出CD的长度.,方法总结 解直角三角形的应用问题时,一般根据题意抽象地画出几何图形,结合所给的线段 或角,借助边角关系、锐角三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件 构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,17.(2017天津,22,10分)(本小题10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120 海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和 BA的长(结果取整数). 参考数据:sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05, 取1.414.,解析 如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,,由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120, 在Rt△APC中,sin A= ,cos A= , ∴PC=PA·sin A=120×sin 64°, AC=PA·cos A=120×cos 64°.,在Rt△BPC中,sin B= ,tan B= , ∴BP= = ≈ ≈153(海里), BC= = =PC=120×sin 64°, ∴BA=BC+AC=120×sin 64°+120×cos 64°≈120×0.90+120×0.44≈161(海里). 答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.,思路分析 在Rt△APC中,利用∠A的三角函数求出PC和AC;在Rt△PCB中利用∠B的三角函 数求出BC和PB即可解决问题.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画 出图形,找准三角形.,18.(2017贵州贵阳,20,8分)贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图所示,消防官 兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官 兵立刻升高云梯将其救出.已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云 梯与水平线的夹角∠CAD=60°.求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数.(结果精确 到1°),解析 如图,延长AD,交BC所在的直线于点E, 由题意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°, 在Rt△ACE中,tan∠CAE= , ∴CE=AEtan 60°=15 (米), 在Rt△ABE中,tan∠BAE= = = , ∴∠BAE≈71°. 答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°.,19.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A→B→D的路线可至山顶D处.假设AB 和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的长. (参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26, ≈1.41),解析 在Rt△BDF中,由sin β= 可得, DF=BD·sin β=600×sin 45°=600× =300 ≈423(m).(3分) 在Rt△ABC中,由cos α= 可得, BC=AB·cos α=600×cos 75°≈600×0.26=156(m). (6分) 所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m). (8分),20.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到 指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其 南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速 为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援? 参考数据:sin 53°≈ ,cos 53°≈ , tan 53°≈ , ≈1.41,解析 过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D,则∠CDA=90°.(1分) 已知∠CAD=45°,设CD=x海里,则AD=CD=x海里. ∴BD=AD-AB=(x-5)海里. (3分) 在Rt△BDC中,CD=BD·tan 53°,即x=(x-5)·tan 53°, ∴x= ≈ =20. (6分) ∴BC= = ≈20÷ =25海里. ∴B船到达C船处约需时间:25÷25=1(小时). (7分) 在Rt△ADC中,AC= x≈1.41×20=28.2海里, ∴A船到达C船处约需时间:28.2÷30=0.94(小时). (8分) 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分),